Le calcul littéral : développer et factoriser (simple et double distributivité)
Apprends à développer et factoriser des expressions littérales en utilisant la simple et la double distributivité, des outils essentiels pour simplifier et résoudre des problèmes mathématiques.
💡 Comment transformer 3(x+5) en 3x+15 ? Et l'inverse ? C'est ce que tu vas découvrir ici.
Le calcul littéral, c'est manipuler des expressions qui contiennent des lettres (comme x, y, a...). Deux opérations sont fondamentales : développer (transformer un produit en somme) et factoriser (transformer une somme en produit). Ces techniques te serviront tout au long de ta scolarité en maths !
Objectifs de cette leçon
- Comprendre et appliquer la simple distributivité k(a+b).
- Comprendre et appliquer la double distributivité (a+b)(c+d).
- Savoir reconnaître un facteur commun pour factoriser une expression.
1. La simple distributivité : développer k(a+b)
La simple distributivité permet de supprimer les parenthèses lorsqu'un nombre (ou une lettre) est multiplié par une somme ou une différence. La formule est : k × (a + b) = k × a + k × b. On dit qu'on 'distribue' le facteur k aux termes a et b.
Développe l'expression : 4(x + 7)
etapes: On identifie k=4, a=x, b=7.,On applique la formule : 4 × x + 4 × 7.,On calcule : 4x + 28.
resultat: 4(x + 7) = 4x + 28
Développe l'expression : 3(2y - 5)
etapes: Attention, c'est une soustraction : 3 × (2y - 5).,On applique : 3 × 2y + 3 × (-5).,On calcule : 6y - 15.
resultat: 3(2y - 5) = 6y - 15
N'oublie pas de multiplier le facteur par CHAQUE terme à l'intérieur des parenthèses, en respectant les signes (+ ou -).
2. La double distributivité : développer (a+b)(c+d)
Quand on doit multiplier deux sommes (ou différences), on utilise la double distributivité. La formule est : (a + b)(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d. Il faut multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
Développe (x + 3)(x + 2)
etapes: On multiplie x (1er terme) par x et par 2 : x×x + x×2 = x² + 2x.,On multiplie 3 (2e terme) par x et par 2 : 3×x + 3×2 = 3x + 6.,On additionne tous les résultats : x² + 2x + 3x + 6.,On réduit (ajoute les x) : x² + 5x + 6.
resultat: (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6
Pour t'aider, tu peux utiliser le schéma FLECHE : F (premiers), L (lasts), E (extérieurs), I (intérieurs). Pour (x+3)(x+2) : F=x*x, L=3*2, E=x*2, I=3*x.
3. Factoriser : mettre en facteur commun
Factoriser, c'est l'opération inverse de développer. On cherche un facteur (nombre ou lettre) commun à tous les termes d'une somme, pour le mettre devant une parenthèse. C'est très utile pour simplifier des expressions.
Factorise l'expression : 5x + 15
etapes: On cherche le facteur commun aux deux termes.,5x = 5 × x et 15 = 5 × 3. Le facteur commun est 5.,On écrit 5 devant une parenthèse : 5( ? ).,Dans la parenthèse, on met ce qui reste : x pour le premier terme, et 3 pour le second.,Donc : 5(x + 3).
resultat: 5x + 15 = 5(x + 3)
Factorise : 4y² - 8y
etapes: Facteur commun ? 4y² = 4y × y et 8y = 4y × 2.,Le facteur commun est 4y.,On met 4y en facteur : 4y( y - 2 ).
resultat: 4y² - 8y = 4y(y - 2)
Pour vérifier ta factorisation, développe le résultat. Tu dois retrouver l'expression de départ !
À retenir
- •Développer, c'est transformer un produit en somme : k(a+b) = ka + kb et (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.
- •Factoriser, c'est transformer une somme en produit en identifiant un facteur commun à tous les termes.
- •Développer et factoriser sont deux opérations inverses l'une de l'autre.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre développer et réduire ?
Développer, c'est utiliser la distributivité pour supprimer les parenthèses. Réduire, c'est ensuite additionner ou soustraire les termes qui sont semblables (par exemple, les termes en 'x'). On fait souvent les deux à la suite.
Comment être sûr d'avoir trouvé le bon facteur commun pour factoriser ?
Le facteur commun doit diviser exactement le coefficient numérique de CHAQUE terme et être présent dans la partie littérale de chaque terme (s'il y a des lettres). Pour vérifier, développe ton résultat : tu dois retrouver l'expression de départ.
Est-ce que (a+b)², c'est pareil que (a+b)(a+b) ?
Oui, tout à fait ! (a+b)² signifie (a+b) multiplié par lui-même. Tu peux donc le développer avec la double distributivité : (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². C'est une identité remarquable que tu verras plus tard.
