Le théorème de Pythagore : calculer une longueur
Apprends à utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté manquant dans un triangle rectangle.
💡 Et si on te disait qu'avec seulement deux longueurs d'un triangle rectangle, tu pouvais toujours trouver la troisième ?
Le théorème de Pythagore est un outil puissant en géométrie. Il permet, dans un triangle rectangle, de calculer la longueur d'un côté quand on connaît les deux autres. C'est une formule magique qui relie les trois côtés !
Objectifs de cette leçon
- Reconnaître un triangle rectangle et identifier son hypoténuse.
- Savoir appliquer la formule du théorème de Pythagore pour trouver une longueur inconnue.
1. Le théorème de Pythagore : la formule
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le côté le plus long. Le théorème de Pythagore s'énonce ainsi : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC est l'hypoténuse.
hypoténuse: BC
côtés de l'angle droit: AB et AC
formule: BC² = AB² + AC²
Cette formule ne fonctionne QUE si le triangle est rectangle. Vérifie toujours qu'il y a bien un angle droit avant d'appliquer le théorème.
2. Calculer la longueur de l'hypoténuse
Quand on cherche la longueur de l'hypoténuse, on applique directement la formule. On additionne les carrés des deux autres côtés, puis on prend la racine carrée du résultat.
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit mesurant 6 cm et 8 cm. Quelle est la longueur de son hypoténuse ?
étape1: On note les côtés : côté1 = 6 cm, côté2 = 8 cm, hypoténuse = ?
étape2: On applique Pythagore : hypoténuse² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
étape3: Donc hypoténuse = √100 = 10 cm.
conclusion: L'hypoténuse mesure 10 cm.
3. Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
Quand on cherche un côté qui n'est pas l'hypoténuse, il faut réorganiser la formule. On soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l'angle droit mesure 5 cm. Quelle est la longueur de l'autre côté ?
étape1: On note : hypoténuse = 13 cm, côté1 = 5 cm, côté2 = ?
étape2: D'après Pythagore : 13² = 5² + côté2² donc 169 = 25 + côté2²
étape3: On isole côté2² : côté2² = 169 - 25 = 144
étape4: Donc côté2 = √144 = 12 cm.
conclusion: Le côté manquant mesure 12 cm.
N'oublie pas de soustraire dans le bon sens : Carré de l'hypoténuse MOINS Carré du côté connu. Le résultat doit être positif pour pouvoir prendre sa racine carrée.
À retenir
- •Le théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles.
- •Formule : (Hypoténuse)² = (Côté1)² + (Côté2)²
- •Pour trouver l'hypoténuse : Additionner les carrés des deux côtés, puis prendre la racine carrée.
- •Pour trouver un côté de l'angle droit : Soustraire le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, puis prendre la racine carrée.
Questions fréquentes
Comment être sûr que mon triangle est rectangle pour utiliser Pythagore ?
L'énoncé doit le préciser (ex: 'triangle ABC rectangle en B') ou tu dois voir le symbole de l'angle droit (un petit carré) sur la figure. Sans cette information, tu ne peux pas appliquer le théorème.
Que faire si je trouve un nombre négatif quand je calcule le carré d'un côté ?
C'est impossible ! Une longueur est toujours positive, donc son carré aussi. Si tu obtiens un nombre négatif en isolant un carré (ex: côté² = -5), c'est qu'il y a une erreur de calcul ou que le triangle n'est pas rectangle.
Dois-je toujours écrire les unités (cm, m...) ?
Oui, c'est très important. Les longueurs ont des unités. Pense à les noter à chaque étape et dans le résultat final. Si les côtés sont en cm, l'hypoténuse sera aussi en cm.
