Le théorème de Pythagore : réciproque (triangle rectangle ?)
Apprends à utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour vérifier si un triangle est rectangle à partir des longueurs de ses côtés.
💡 Et si on pouvait prouver qu'un triangle est rectangle rien qu'avec une calculatrice ?
Tu connais déjà le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Mais si on te donne les longueurs des trois côtés d'un triangle, peux-tu affirmer qu'il est rectangle ? C'est le rôle de la réciproque ! C'est un outil puissant pour démontrer qu'un angle est droit sans utiliser d'équerre, juste avec des calculs.
Objectifs de cette leçon
- Comprendre l'énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore
- Savoir l'appliquer pour démontrer qu'un triangle est rectangle
- Distinguer le théorème direct (calcul d'un côté) de sa réciproque (vérification de l'angle droit)
L'énoncé de la réciproque
La réciproque du théorème de Pythagore s'utilise dans l'autre sens. On part des longueurs des côtés pour conclure sur la nature du triangle.
Il faut absolument identifier le plus grand côté en premier ! On l'appelle le côté 'candidat' à être l'hypoténuse.
Dans un triangle ABC, on donne AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
etape1: On repère le plus grand côté : BC = 13 cm.
etape2: On calcule d'un côté BC² = 13² = 169.
etape3: On calcule de l'autre côté AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
etape4: On compare : BC² = AB² + AC². L'égalité est vérifiée.
conclusion: D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A (car l'hypoténuse BC est opposée à l'angle A).
La méthode en 4 étapes
Pour appliquer correctement la réciproque, suis cette méthode rigoureuse.
1. Identifier le plus grand côté. 2. Calculer le carré de ce plus grand côté. 3. Calculer la somme des carrés des deux autres côtés. 4. Comparer les deux résultats : s'ils sont égaux, le triangle est rectangle et le plus grand côté est l'hypoténuse. Sinon, le triangle n'est pas rectangle.
Un triangle a pour côtés 8 cm, 9 cm et 11 cm. Est-il rectangle ?
etape1: Plus grand côté : 11 cm.
etape2: 11² = 121.
etape3: 8² + 9² = 64 + 81 = 145.
etape4: 121 ≠ 145.
conclusion: L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée. Donc ce triangle n'est pas rectangle.
N'oublie pas de conclure par une phrase qui cite la réciproque du théorème de Pythagore. C'est obligatoire pour une démonstration complète.
Ne pas confondre !
Il est crucial de faire la différence entre le théorème direct et sa réciproque.
• THÉORÈME DIRECT (Pythagore) : On sait que le triangle est rectangle. On l'utilise pour calculer la longueur d'un côté manquant. • RÉCIPROQUE : On connaît les trois longueurs. On l'utilise pour DÉMONTRER que le triangle est rectangle (ou pas).
On ne peut utiliser la réciproque que si on connaît les trois longueurs du triangle. Si une longueur manque, on utilise le théorème direct.
À retenir
- •La réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle en vérifiant l'égalité de Pythagore avec les longueurs données.
- •La première étape est toujours : repérer le plus grand côté (candidat hypoténuse).
- •Si l'égalité a² = b² + c² (avec a le plus grand côté) est VRAIE, alors le triangle est rectangle et son hypoténuse est le côté de longueur a.
- •Si l'égalité est FAUSSE, alors le triangle n'est pas rectangle.
- •Il faut conclure en citant la réciproque du théorème de Pythagore.
Questions fréquentes
Que faire si l'égalité n'est pas vérifiée ?
Si après calcul, le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors tu peux conclure : 'D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.'
Faut-il que les longueurs soient dans la même unité ?
Oui, absolument ! Avant de faire les calculs, assure-toi que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité (toutes en cm, ou toutes en m...).
Peut-on utiliser la réciproque si on ne connaît pas le plus grand côté ?
Non, c'est impossible. Identifier le plus grand côté est la première étape obligatoire. Sans cela, tu ne sais pas quel côté pourrait être l'hypoténuse.
