Les nombres relatifs : opérations (révision et maîtrise)
Révision complète des règles d'addition, de soustraction, de multiplication et de division avec les nombres relatifs (positifs et négatifs).
💡 Un nombre négatif multiplié par un nombre négatif, ça donne quoi ? On révise ensemble les règles essentielles pour ne plus se tromper !
Les nombres relatifs, c'est-à-dire les nombres positifs et négatifs, sont partout autour de nous (températures, altitudes, comptes bancaires...). Savoir les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser est une compétence fondamentale en mathématiques. Cette leçon fait le point sur toutes les règles à connaître.
Objectifs de cette leçon
- Maîtriser les règles des quatre opérations avec les nombres relatifs.
- Savoir calculer des expressions mélangeant plusieurs opérations.
- Comprendre l'effet des signes sur le résultat d'un calcul.
I. Addition et soustraction de nombres relatifs
Pour additionner deux nombres relatifs, on regarde leurs signes. S'ils sont de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun. S'ils sont de signes contraires, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
Calculer : (+5) + (+3) et (-4) + (-7)
etapes: (+5) + (+3) : Mêmes signes (+). On fait 5 + 3 = 8. On garde le signe +.,(-4) + (-7) : Mêmes signes (-). On fait 4 + 7 = 11. On garde le signe -.
resultat: = +8 et = -11
Calculer : (+9) + (-5) et (-6) + (+2)
etapes: (+9) + (-5) : Signes contraires. Distances : 9 et 5. On fait 9 - 5 = 4. Le signe du plus grand (9 est positif) est +.,(-6) + (+2) : Signes contraires. Distances : 6 et 2. On fait 6 - 2 = 4. Le signe du plus grand (6 est négatif) est -.
resultat: = +4 et = -4
Soustraire un nombre relatif, c'est ajouter son opposé. Ainsi : a - b = a + (-b). C'est très pratique pour transformer une soustraction en addition !
Calculer : 12 - (+8) et 5 - (-3)
etapes: 12 - (+8) = 12 + (-8). Signes contraires (12+ et 8-). On fait 12 - 8 = 4. Signe +.,5 - (-3) = 5 + (+3). Mêmes signes (+). On fait 5 + 3 = 8. Signe +.
resultat: = 4 et = 8
II. Multiplication et division de nombres relatifs
La règle des signes pour la multiplication et la division est simple et unique :
- Le produit (ou quotient) de deux nombres de même signe est POSITIF.
- Le produit (ou quotient) de deux nombres de signes contraires est NÉGATIF.
Calculer : (+7) × (+4) et (-5) × (-2)
etapes: (+7) × (+4) : Mêmes signes (+). Le résultat est positif. 7 × 4 = 28.,(-5) × (-2) : Mêmes signes (-). Le résultat est positif. 5 × 2 = 10.
resultat: = +28 et = +10
Calculer : (+9) × (-3) et (-12) ÷ (+4)
etapes: (+9) × (-3) : Signes contraires (+ et -). Le résultat est négatif. 9 × 3 = 27.,(-12) ÷ (+4) : Signes contraires (- et +). Le résultat est négatif. 12 ÷ 4 = 3.
resultat: = -27 et = -3
Pour multiplier ou diviser plusieurs nombres relatifs, on compte le nombre de facteurs négatifs. S'il est pair, le résultat est positif. S'il est impair, le résultat est négatif.
Calculer : (-2) × (+3) × (-5)
etapes: Il y a deux facteurs négatifs (-2 et -5). Deux est un nombre pair, donc le résultat est positif.,On calcule la valeur : 2 × 3 × 5 = 30.
resultat: = +30
III. Priorités des opérations dans une expression
Dans une expression avec des nombres relatifs, les règles de priorité sont les mêmes que d'habitude :
1. On calcule d'abord ce qui est entre parenthèses.
2. Puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
3. Enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Calculer : A = 5 + 3 × (-2)
etapes: La multiplication est prioritaire : 3 × (-2) = -6.,Puis l'addition : 5 + (-6) = -1.
resultat: A = -1
Calculer : B = [10 - (4 × (-3))] ÷ (-2)
etapes: Parenthèse intérieure : 4 × (-3) = -12.,Parenthèse extérieure : 10 - (-12) = 10 + 12 = 22.,Division : 22 ÷ (-2). Signes contraires, résultat négatif. 22 ÷ 2 = 11.
resultat: B = -11
À retenir
- •Addition/Soustraction : Mêmes signes → on additionne, on garde le signe. Signes contraires → on soustrait, on prend le signe du plus grand.
- •Soustraire, c'est ajouter l'opposé : a - b = a + (-b).
- •Multiplication/Division : Règle des signes : (+)×(+)=+ ; (-)×(-)=+ ; (+)×(-)=- ; (-)×(+)=-
- •Pour plusieurs facteurs, le signe du résultat dépend de la parité du nombre de facteurs négatifs.
- •Respecter les priorités : Parenthèses → Multiplications/Divisions → Additions/Soustractions.
Questions fréquentes
Comment faire pour ne pas se tromper dans les signes lors d'une addition ?
Pense à la droite numérique ou utilise la méthode : 1) Mêmes signes → additionne et garde le signe. 2) Signes contraires → soustrais et prends le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro (valeur sans le signe).
Pourquoi 'moins par moins donne plus' ?
C'est une convention mathématique cohérente qui permet de conserver les propriétés des opérations (comme la distributivité). Par exemple, si on admet que 3 × (-2) = -6, alors pour que 3 × (5 - 7) = 3×5 + 3×(-7) reste vrai, il faut que (-3) × (-2) = +6.
Comment calculer une expression comme -5 - 8 ?
Interprète-la comme (-5) + (-8). Ce sont deux nombres négatifs (mêmes signes). Tu additionnes 5 et 8 pour faire 13, et tu gardes le signe négatif. Donc -5 - 8 = -13.
Que signifie 'l'opposé' d'un nombre ?
L'opposé d'un nombre est le nombre qui, ajouté à lui, donne zéro. L'opposé de +a est -a. L'opposé de -a est +a. Ex: L'opposé de -7 est +7 car (-7) + (+7) = 0.
