Les puissances d'un nombre : notation, calcul, règles
Comprendre la notation puissance, apprendre à calculer avec et mémoriser les règles essentielles pour les additions, multiplications et divisions.
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Lorsqu'on doit multiplier plusieurs fois le même nombre par lui-même, par exemple 2×2×2×2, l'écriture devient longue. Les puissances sont une notation mathématique qui permet d'écrire ce genre de calcul de manière beaucoup plus courte et pratique. C'est un outil fondamental utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences.
Objectifs de cette leçon
- Savoir écrire et lire une puissance
- Calculer la valeur d'une puissance
- Appliquer les règles de calcul avec les puissances de même nombre
1. Qu'est-ce qu'une puissance ?
Une puissance est une façon d'écrire un produit de facteurs tous identiques. Elle est composée de deux nombres : la base et l'exposant.
**Notation :** aⁿ se lit « a puissance n ». - **a** est la base : le nombre que l'on multiplie. - **n** est l'exposant : il indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. - aⁿ = a × a × a × ... × a (n fois)
5³ = 5 × 5 × 5 = 125
base: 5
exposant: 3
calcul: 5 × 5 × 5
resultat: 125
Ne pas confondre 5³ (5 puissance 3) avec 5×3 (5 multiplié par 3). 5³ = 125, alors que 5×3 = 15.
2. Calculer et lire une puissance
Il faut savoir calculer la valeur d'une puissance et connaître les noms particuliers pour les petits exposants.
**Cas particuliers :** - a² se lit « a au carré ». - a³ se lit « a au cube ». - a¹ = a (un exposant 1 ne change rien). - a⁰ = 1 (pour toute base a non nulle).
4² = 4 × 4 = 16. On dit « 4 au carré égale 16 ». 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000. On dit « 10 au cube égale 1000 ». 9¹ = 9. 7⁰ = 1.
3. Les règles de calcul avec les puissances
Lorsqu'on multiplie ou divise des puissances du **même nombre**, il existe des règles pour simplifier les calculs sans tout développer.
**Règle 1 : Produit de puissances de même base** Pour multiplier des puissances de même base, on garde la base et on **additionne** les exposants. Formule : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
2⁴ × 2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷. Vérification : (2×2×2×2) × (2×2×2) = 2×2×2×2×2×2×2 = 2⁷.
base: 2
exposant1: 4
exposant2: 3
operation: addition
resultat_exposant: 7
**Règle 2 : Quotient de puissances de même base** Pour diviser des puissances de même base, on garde la base et on **soustrait** les exposants. Formule : aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (avec a ≠ 0 et m ≥ n)
5⁶ ÷ 5² = 5⁶⁻² = 5⁴. Vérification : (5×5×5×5×5×5) / (5×5) = 5×5×5×5 = 5⁴.
base: 5
exposant1: 6
exposant2: 2
operation: soustraction
resultat_exposant: 4
Ces règles ne fonctionnent que si les puissances ont la **même base**. 2³ × 3² ne peut pas se simplifier avec ces règles car les bases (2 et 3) sont différentes.
À retenir
- •Une puissance aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a. a est la base, n l'exposant.
- •a² se lit « a au carré », a³ se lit « a au cube ». a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a ≠ 0).
- •Pour multiplier des puissances de même base : on additionne les exposants. aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
- •Pour diviser des puissances de même base : on soustrait les exposants. aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (avec m ≥ n).
Questions fréquentes
Que vaut 10⁰ ?
10⁰ = 1. Par convention, tout nombre (non nul) à la puissance 0 est égal à 1.
Comment calculer 2³ + 2² ?
Il n'y a pas de règle de simplification pour l'addition. Il faut calculer chaque puissance séparément : 2³=8 et 2²=4, donc 2³ + 2² = 8 + 4 = 12.
Peut-on appliquer la règle aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ si les bases sont différentes ?
Non, absolument pas. Cette règle ne s'applique que si les puissances ont exactement la même base. Pour 2³ × 3², il faut calculer 8 × 9 = 72.
