Les puissances de 10 : écriture scientifique
Apprends à manipuler les puissances de 10 et à écrire n'importe quel nombre en écriture scientifique, une notation très utilisée en sciences.
💡 Savais-tu que la distance Terre-Soleil est d'environ 150 000 000 km ? Avec les puissances de 10, on peut l'écrire bien plus simplement !
Pour exprimer de très grandes quantités (comme la distance des étoiles) ou de très petites quantités (comme la taille d'un virus), les scientifiques utilisent une notation particulière : les puissances de 10 et l'écriture scientifique. C'est un outil puissant pour simplifier l'écriture et les calculs.
Objectifs de cette leçon
- Comprendre et utiliser les puissances de 10 (exposant positif et négatif).
- Savoir écrire un nombre décimal en écriture scientifique.
- Savoir comparer et ordonner des nombres en écriture scientifique.
1. Les puissances de 10
Une puissance de 10, c'est le résultat d'une multiplication répétée du nombre 10 par lui-même. On note 10ⁿ, où 'n' (l'exposant) indique le nombre de fois que l'on multiplie 10.
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000. L'exposant 3 nous dit qu'il y a trois zéros après le 1.
detail: L'exposant positif correspond au nombre de zéros dans le résultat.
Pour les nombres plus petits que 1, on utilise des exposants négatifs. 10⁻ⁿ, c'est l'inverse de 10ⁿ, soit 1 / 10ⁿ.
10⁻³ = 1 / 10³ = 1 / 1000 = 0,001. L'exposant -3 nous dit que le chiffre 1 est à la 3ème position après la virgule.
detail: L'exposant négatif correspond au nombre de chiffres après la virgule, le premier étant un zéro.
10⁰ = 1. C'est une convention importante à retenir !
2. L'écriture scientifique d'un nombre
L'écriture scientifique permet d'écrire n'importe quel nombre (très grand ou très petit) sous une forme standardisée. Un nombre est en écriture scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme a × 10ⁿ, où :
- 'a' est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (1 ≤ a < 10). C'est la partie 'significative'.
- 'n' est un nombre entier relatif (positif, négatif ou nul). C'est la puissance de 10, appelée l'ordre de grandeur.
La distance Terre-Soleil : 150 000 000 km. Pour l'écrire en notation scientifique, on place la virgule après le premier chiffre non nul : 1,5. On a déplacé la virgule de 8 rangs vers la gauche, donc on multiplie par 10⁸. Résultat : 1,5 × 10⁸ km.
detail: Déplacer la virgule vers la gauche donne un exposant POSITIF.
La taille d'un virus : 0,000 000 025 m. On place la virgule après le 2 : 2,5. On l'a déplacée de 8 rangs vers la droite, donc on multiplie par 10⁻⁸. Résultat : 2,5 × 10⁻⁸ m.
detail: Déplacer la virgule vers la droite donne un exposant NÉGATIF.
Le nombre 'a' DOIT être compris entre 1 et 10. 15 × 10⁷ n'est PAS une écriture scientifique correcte, car 15 est supérieur à 10. La bonne écriture est 1,5 × 10⁸.
3. Comparer des nombres en écriture scientifique
L'écriture scientifique est très pratique pour comparer rapidement la taille des nombres. On compare d'abord les puissances de 10 (l'exposant 'n'). Le nombre avec la plus grande puissance de 10 est le plus grand. Si les puissances de 10 sont égales, on compare alors le nombre 'a'.
Comparons 4,2 × 10⁵ et 9,8 × 10⁴. 10⁵ est plus grand que 10⁴, donc 4,2 × 10⁵ > 9,8 × 10⁴, même si 4,2 est plus petit que 9,8.
detail: L'ordre de grandeur (la puissance de 10) est prioritaire pour la comparaison.
Comparons 5,1 × 10³ et 2,7 × 10³. Les puissances de 10 sont égales (10³). On compare donc 5,1 et 2,7. Donc 5,1 × 10³ > 2,7 × 10³.
detail: Quand les exposants sont égaux, on compare simplement les nombres décimaux 'a'.
À retenir
- •10ⁿ = 1 suivi de n zéros (si n>0). 10⁻ⁿ = 0, suivi de (n-1) zéros, puis un 1.
- •L'écriture scientifique d'un nombre N est : N = a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier.
- •Pour trouver 'n', compte le nombre de rangs dont tu déplaces la virgule. Vers la gauche → n positif. Vers la droite → n négatif.
- •Pour comparer deux nombres en écriture scientifique, regarde d'abord l'exposant 'n'.
Questions fréquentes
Pourquoi faut-il que 'a' soit entre 1 et 10 dans l'écriture scientifique ?
C'est une convention internationale qui permet d'avoir une écriture UNIQUE pour chaque nombre. Cela facilite les comparaisons et les calculs pour tous les scientifiques.
Comment écrire 450 en écriture scientifique ?
On place la virgule après le 4 : 4,50 (soit 4,5). La virgule a été déplacée de 2 rangs vers la gauche, donc l'exposant est +2. Donc 450 = 4,5 × 10².
Que vaut 10⁰ ?
Par convention, et pour respecter les règles de calcul sur les puissances, on a décidé que 10⁰ = 1. C'est vrai pour tout nombre non nul : nombre⁰ = 1.
Comment écrire 0,0072 en écriture scientifique ?
On place la virgule après le 7 : 7,2. La virgule a été déplacée de 3 rangs vers la DROITE, donc l'exposant est -3. Donc 0,0072 = 7,2 × 10⁻³.
