Le cosinus d'un angle : définition et calcul
Découvre la définition du cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle et apprends à l'utiliser pour calculer des longueurs ou des angles.
💡 Comment calculer la hauteur d'un arbre sans monter tout en haut ? Le cosinus peut t'aider à résoudre ce genre de problème !
En géométrie, lorsqu'on travaille avec des triangles rectangles, il existe des outils très puissants pour faire des calculs de longueurs ou d'angles. Le cosinus est l'un de ces outils. Il permet de créer un lien entre les angles aigus et les longueurs des côtés du triangle.
Objectifs de cette leçon
- Définir le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle.
- Utiliser la formule du cosinus pour calculer une longueur ou un angle.
- Savoir utiliser la calculatrice pour trouver un cosinus ou un angle.
1. Définition dans un triangle rectangle
On considère un triangle ABC, rectangle en A. On s'intéresse à l'un des angles aigus, par exemple l'angle ABC (noté ÂBĈ).
Dans ce triangle :
- Le côté [BC], en face de l'angle droit, est l'hypoténuse. C'est le côté le plus long.
- Le côté [AB] est le côté adjacent à l'angle ÂBĈ. Il est 'à côté' de l'angle et fait partie de l'hypoténuse.
Le cosinus de l'angle ÂBĈ est égal au rapport (division) de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse.
Dans le triangle ABC rectangle en A, cos(ÂBĈ) = AB / BC.
detail: AB est la longueur du côté adjacent à l'angle ÂBĈ. BC est la longueur de l'hypoténuse.
Cette définition ne fonctionne QUE pour un angle aigu dans un triangle rectangle. Le cosinus est toujours un nombre compris entre 0 et 1 pour un angle aigu.
2. La formule et comment l'utiliser
La formule générale est : cos(angle) = (côté adjacent à l'angle) / (hypoténuse).
Cette formule est souvent écrite sous la forme : côté adjacent = hypoténuse × cos(angle).
Elle permet de calculer :
1. La longueur d'un côté adjacent si on connaît l'hypoténuse et l'angle.
2. La longueur de l'hypoténuse si on connaît le côté adjacent et l'angle.
3. La mesure d'un angle si on connaît les longueurs du côté adjacent et de l'hypoténuse.
Dans un triangle MNP rectangle en M, on connaît l'angle MNP = 30° et l'hypoténuse NP = 10 cm. On cherche MN, le côté adjacent à l'angle de 30°. Formule : MN = NP × cos(30°) = 10 × cos(30°). Avec la calculatrice, cos(30°) ≈ 0,866. Donc MN ≈ 10 × 0,866 = 8,66 cm.
detail: On a utilisé la formule transformée : côté adjacent = hypoténuse × cos(angle).
3. Utiliser la calculatrice
La calculatrice est indispensable pour travailler avec le cosinus.
Avant tout, vérifie que ta calculatrice est bien en mode DEG (degrés) et non en RAD (radians).
Deux opérations principales :
- Trouver le cosinus d'un angle : Tu tapes la mesure de l'angle, puis la touche COS. Exemple : pour cos(60°), tu tapes 60 puis COS. Le résultat doit être 0,5.
- Trouver l'angle quand on connaît son cosinus : C'est l'opération inverse. Tu utilises la touche COS⁻¹ ou Arccos. Exemple : si cos(angle) = 0,5, tu tapes 0.5 puis COS⁻¹. Le résultat doit être 60°.
On sait que dans un triangle, cos(x) = 0,342. Pour trouver l'angle x, on calcule cos⁻¹(0,342) avec la calculatrice. On trouve x ≈ 70°.
detail: La touche cos⁻¹ permet de 'remonter' du cosinus à la mesure de l'angle.
À retenir
- •Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse.
- •Le cosinus d'un angle aigu est toujours un nombre entre 0 et 1.
- •On peut calculer une longueur avec la formule : côté adjacent = hypoténuse × cos(angle).
- •Pour trouver un angle à partir de son cosinus, on utilise la touche cos⁻¹ sur la calculatrice.
- •Il faut toujours vérifier que la calculatrice est en mode DEG.
Questions fréquentes
Le cosinus peut-il être plus grand que 1 ?
Non, pour un angle aigu dans un triangle rectangle, le côté adjacent est toujours plus petit que l'hypoténuse. La division d'un petit nombre par un plus grand donne toujours un résultat inférieur à 1. Donc 0 < cos(angle aigu) < 1.
Que faire si je cherche l'hypoténuse et que je connais le côté adjacent et l'angle ?
Tu pars de la formule de base : cos(angle) = adjacent / hypoténuse. Tu peux la transformer en : hypoténuse = adjacent / cos(angle). Il suffit de diviser la longueur du côté adjacent par le cosinus de l'angle.
Comment être sûr de bien identifier le côté adjacent ?
Le côté adjacent est l'un des deux côtés qui forment l'angle qui t'intéresse, mais ce n'est PAS l'hypoténuse. L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit. Donc, pour un angle donné, le côté adjacent est celui qui part du sommet de l'angle et qui n'est pas l'hypoténuse.
