Les droites remarquables du triangle : médianes, hauteurs, médiatrices, bissectrices
Découvre les quatre droites spéciales que l'on peut tracer dans un triangle : leurs définitions, leurs constructions et leurs points de concours importants.
💡 Savais-tu que dans n'importe quel triangle, trois lignes particulières se coupent toujours en un même point ? Découvre ces points secrets !
Un triangle n'est pas qu'une simple figure à trois côtés. Il cache en son sein des lignes spéciales, appelées droites remarquables, qui ont des propriétés fascinantes et des points de rencontre magiques. Dans cette leçon, nous allons explorer les quatre principales : les médianes, les hauteurs, les médiatrices et les bissectrices.
Objectifs de cette leçon
- Définir et construire les médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices d'un triangle.
- Connaître le nom et les propriétés des points de concours de ces droites (centre de gravité, orthocentre, centre du cercle circonscrit, centre du cercle inscrit).
1. Les médianes et le centre de gravité
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Un triangle a donc trois médianes.
Dans le triangle ABC, si M est le milieu de [BC], alors la droite (AM) est la médiane issue de A.
detail: Pour la tracer, il faut d'abord trouver le milieu du côté à l'aide d'une règle graduée ou d'un compas, puis relier ce point au sommet opposé.
Le mot 'médiane' vient de 'milieu'. Elle relie toujours un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d'un triangle se coupent en un point unique appelé le centre de gravité du triangle, souvent noté G. C'est le point d'équilibre du triangle !
2. Les hauteurs et l'orthocentre
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). Un triangle a trois hauteurs.
Dans le triangle ABC, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC).
detail: Pour la tracer, utilise ton équerre ! Place un côté de l'équerre sur le côté [BC], fais glisser jusqu'au sommet A et trace la perpendiculaire.
Dans un triangle rectangle, deux hauteurs sont confondues avec les côtés de l'angle droit. Dans un triangle obtusangle, deux hauteurs tombent à l'extérieur du triangle.
Les trois hauteurs (ou leurs prolongements) se coupent en un point unique appelé l'orthocentre du triangle, souvent noté H.
3. Les médiatrices et le centre du cercle circonscrit
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Dans un triangle, on peut tracer la médiatrice de chacun de ses trois côtés.
La médiatrice du côté [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par son milieu.
detail: Tu peux la construire avec une règle et un compas sans mesurer d'angle : ouvre ton compas à plus de la moitié de AB, trace deux arcs de cercle de part et d'autre depuis A et B. La droite joignant les intersections des arcs est la médiatrice.
Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un point unique. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle, c'est-à-dire du cercle qui passe par les trois sommets du triangle. On le note souvent O.
4. Les bissectrices et le centre du cercle inscrit
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui part du sommet de l'angle et qui le partage en deux angles de même mesure. Dans un triangle, on peut tracer la bissectrice de chacun de ses trois angles.
La bissectrice de l'angle BAC est la demi-droite [Ax) telle que les angles BAx et xAC sont égaux.
detail: Pour la construire au compas : depuis le sommet A, trace un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l'angle. Depuis ces deux points d'intersection, trace deux arcs de cercle de même rayon qui se coupent. La droite reliant A à cette intersection est la bissectrice.
Ne confonds pas bissectrice et médiatrice ! La bissectrice coupe un angle en deux, la médiatrice coupe un segment en deux et est perpendiculaire à lui.
Les trois bissectrices des angles d'un triangle se coupent en un point unique. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle, c'est-à-dire du cercle tangent aux trois côtés du triangle. On le note souvent I.
À retenir
- •Une médiane passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Leur point de concours est le centre de gravité (G).
- •Une hauteur est une droite perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé. Leur point de concours est l'orthocentre (H).
- •Une médiatrice est perpendiculaire à un côté en son milieu. Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit (O).
- •Une bissectrice partage un angle en deux angles égaux. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit (I).
Questions fréquentes
Est-ce que ces points (G, H, O, I) sont toujours à l'intérieur du triangle ?
Pas toujours ! Le centre de gravité (G) et le centre du cercle inscrit (I) sont toujours à l'intérieur. L'orthocentre (H) et le centre du cercle circonscrit (O) peuvent être à l'extérieur dans un triangle obtusangle.
Comment retenir facilement la différence entre médiane et médiatrice ?
Pense à l'étymologie : 'Médi-ane' vient de 'milieu' et va vers un 'angle' (sommet). 'Médi-atrice' vient de 'milieu' et agit sur un 'côté' (segment).
Dans un triangle équilatéral, où se situent ces quatre points ?
Dans un triangle équilatéral, les quatre points remarquables (G, H, O, I) sont confondus en un seul et même point !
