Les rotations : définition, propriétés (introduction)
Découverte de la transformation géométrique appelée rotation : comprendre son centre, son angle et ses premières propriétés.
💡 Imagine que tu fais tourner une feuille sur ton bureau autour de ta règle posée en son centre. C'est le principe de la rotation !
En géométrie, une rotation est un « tour » d'une figure autour d'un point fixe. C'est une transformation que l'on rencontre souvent, par exemple dans les mouvements d'une aiguille d'horloge ou d'une roue. Dans cette leçon, nous allons apprendre à définir précisément une rotation et découvrir ses premières propriétés.
Objectifs de cette leçon
- Définir une rotation par son centre et son angle.
- Reconnaître et construire l'image d'une figure par une rotation.
- Identifier les premières propriétés de conservation de la rotation.
1. Définition d'une rotation
Pour définir une rotation, il faut deux éléments essentiels : un point et un angle.
• Le **centre de rotation** : c'est le point fixe autour duquel tout tourne. On le note souvent O.
• L'**angle de rotation** : il indique de combien de degrés on fait tourner la figure, et dans quel sens (horaire ou anti-horaire). Par convention, un angle positif correspond à un tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
La rotation de centre O et d'angle +90° (ou -270°) transforme le point A en A'.
detail: Cela signifie que pour passer de A à A', on trace un arc de cercle de centre O, d'un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Le centre de rotation est le seul point qui ne bouge pas ! Son image par la rotation est lui-même.
2. Comment construire l'image d'un point ?
Pour construire l'image A' d'un point A par une rotation de centre O et d'angle α :
1. On trace le segment [OA].
2. Avec le rapporteur, on construit un angle AÔA' = α, le sommet étant O.
3. On reporte la longueur OA sur l'autre côté de l'angle pour placer A'. On a donc OA' = OA.
Construire l'image du point B par la rotation de centre O et d'angle -60° (60° dans le sens horaire).
detail: On place le rapporteur sur O, on mesure 60° dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de [OB] et on reporte la distance OB pour placer B'.
3. Premières propriétés importantes
La rotation est une transformation qui **conserve** beaucoup de choses. Cela signifie que la figure image est une copie parfaite de la figure de départ, mais simplement tournée.
• **Conservation des longueurs** : La rotation ne change pas les distances. Si AB = 5 cm, alors A'B' = 5 cm.
• **Conservation des angles** : La rotation ne change pas la mesure des angles. Si ABC = 45°, alors A'B'C' = 45°.
• **Conservation de l'alignement** : Si trois points sont alignés, leurs images par la rotation sont aussi alignées.
L'image d'un segment [MN] par une rotation est un segment [M'N'] de même longueur.
detail: C'est une conséquence directe de la conservation des longueurs. La figure tourne, mais ne se déforme pas.
L'orientation (le « sens ») de la figure change à cause de la rotation, mais ses caractéristiques géométriques (longueurs, angles) restent identiques.
À retenir
- •Une rotation est définie par son centre (point fixe) et son angle (sens et mesure).
- •Pour construire l'image A' de A, on trace un angle AÔA' de la mesure donnée et on reporte OA = OA'.
- •La rotation conserve les longueurs, les angles et l'alignement. C'est une transformation qui ne déforme pas les figures.
Questions fréquentes
Comment savoir si l'angle est positif ou négatif ?
Par convention : un angle positif fait tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Un angle négatif fait tourner dans le sens des aiguilles d'une montre (comme sur une horloge).
Est-ce que le centre de rotation peut être sur la figure ?
Oui, absolument ! Le centre de rotation peut être n'importe où : à l'intérieur de la figure, sur son contour, ou à l'extérieur. Le seul point invariant (qui ne bouge pas) est ce centre.
Que se passe-t-il si on fait une rotation de 360° ?
Une rotation de 360° (ou -360°) ramène la figure exactement à sa position de départ. Chaque point coïncide avec son image. C'est comme si on n'avait rien fait !
