Les statistiques : médiane, étendue, quartiles
Comprendre et calculer les indicateurs statistiques qui résument une série de données : la médiane, l'étendue et les quartiles.
💡 Comment résumer une série de notes pour savoir si la classe a globalement réussi ? La moyenne seule ne suffit pas toujours !
Lorsque tu as une liste de nombres (comme des notes, des températures ou des tailles), il est utile de pouvoir la résumer avec quelques nombres clés. La moyenne est un indicateur que tu connais déjà. Dans ce chapitre, nous allons découvrir d'autres outils très importants : la médiane, l'étendue et les quartiles. Ils te permettent de mieux comprendre comment les données sont réparties.
Objectifs de cette leçon
- Savoir calculer la médiane d'une série statistique.
- Savoir calculer l'étendue d'une série statistique.
- Savoir déterminer les quartiles Q1 et Q3 d'une série ordonnée.
- Interpréter ces indicateurs pour décrire une série de données.
1. L'étendue d'une série statistique
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. C'est un indicateur de la dispersion des données.
Série A : 10, 12, 13, 14, 18. Série B : 5, 10, 13, 16, 20.
calcul: Étendue de A = 18 - 10 = 8. Étendue de B = 20 - 5 = 15.
interpretation: Les données de la série B sont plus dispersées (étendue de 15) que celles de la série A (étendue de 8).
L'étendue ne donne aucune information sur les valeurs entre la plus petite et la plus grande, seulement sur l'écart global.
2. La médiane d'une série statistique
La médiane est une valeur qui partage une série ordonnée (du plus petit au plus grand nombre) en deux groupes de même effectif. 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et 50% sont supérieures ou égales à la médiane.
MÉTHODE : 1. Ordonner la série du plus petit au plus grand nombre. 2. Calculer l'effectif total N. 3. Si N est impair, la médiane est la valeur du milieu (la (N+1)/2 ème valeur). Si N est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (la N/2 ème et la (N/2 + 1) ème valeur).
Série 1 (effectif impair) : 7, 3, 12, 10, 5. Série 2 (effectif pair) : 15, 8, 4, 11.
calcul: Série 1 ordonnée : 3, 5, 7, 10, 12. N=5 (impair). Médiane = 3ème valeur = 7. Série 2 ordonnée : 4, 8, 11, 15. N=4 (pair). Médiane = moyenne entre la 2ème (8) et la 3ème valeur (11) = (8+11)/2 = 9,5.
interpretation: Dans la série 1, la moitié des nombres sont ≤ 7 et l'autre moitié sont ≥ 7.
3. Les quartiles Q1 et Q3
Les quartiles permettent d'affiner la description d'une série. On divise la série ordonnée en quatre parts égales.
DÉFINITIONS : - Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales. - Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales.
MÉTHODE (simplifiée pour la 4ème) : 1. Ordonner la série. 2. Trouver la médiane qui sépare la série en deux moitiés. 3. Q1 est la médiane de la première moitié des données (sans inclure la médiane globale si N impair). 4. Q3 est la médiane de la deuxième moitié des données.
Série : 2, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 16 (N=9).
etapes: 1. Série déjà ordonnée. 2. Médiane globale (M) = 5ème valeur = 9. 3. Première moitié (valeurs < M) : 2, 4, 7, 8. Q1 = médiane de (2,4,7,8) = (4+7)/2 = 5,5. 4. Deuxième moitié (valeurs > M) : 11, 13, 14, 16. Q3 = médiane de (11,13,14,16) = (13+14)/2 = 13,5.
L'intervalle interquartile [Q1 ; Q3] contient environ 50% des données du milieu. Il est moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue.
À retenir
- •L'étendue = valeur max - valeur min. Elle mesure l'écart total des données.
- •La médiane partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.
- •Les quartiles Q1 et Q3 partagent la série en quatre : 25% des données sont ≤ Q1 et 75% sont ≤ Q3.
- •Pour les calculer, il faut TOUJOURS commencer par ordonner la série du plus petit au plus grand nombre.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la moyenne et la médiane ?
La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre. Elle peut être influencée par des valeurs extrêmes. La médiane est simplement la valeur du milieu quand on range les données. Elle est plus 'robuste' et donne une meilleure idée de la tendance centrale quand il y a des valeurs très éloignées des autres.
Que faire si la médiane tombe entre deux nombres identiques ?
C'est parfait ! Si tu dois faire la moyenne des deux valeurs centrales et qu'elles sont identiques, la médiane est égale à cette valeur. Exemple : pour la série 5, 8, 8, 10, la médiane est (8+8)/2 = 8.
À quoi sert l'étendue ?
L'étendue donne une idée rapide de la dispersion des données. Une grande étendue signifie que les valeurs sont très variées, éparpillées. Une petite étendue signifie qu'elles sont toutes regroupées autour d'une valeur centrale. Attention, une seule valeur extrême peut donner une grande étendue qui ne reflète pas l'ensemble de la série.
