Les fractions et les puissances : exercices combinés
Apprends à manipuler les fractions et les puissances dans des exercices combinés pour maîtriser les priorités de calcul.
💡 Et si on élevait une fraction au carré ? Ou si on devait calculer une puissance avant une multiplication de fractions ? Suis le guide !
Tu sais déjà calculer avec les fractions et tu connais la notation des puissances. Maintenant, nous allons voir comment ces deux notions s'assemblent dans des calculs plus complexes. C'est très utile pour simplifier des expressions avant de les calculer !
Objectifs de cette leçon
- Savoir calculer une puissance d'une fraction
- Appliquer les règles de priorité entre puissances et opérations sur les fractions
- Simplifier des expressions numériques combinant ces deux notions
1. La puissance d'une fraction
Pour élever une fraction à une puissance, on élève le numérateur et le dénominateur à cette puissance. C'est une règle très pratique.
Calculer (2/3)²
etapes: (2/3)² = 2² / 3²,2² = 4,3² = 9,Donc (2/3)² = 4/9
Attention ! Cette règle ne fonctionne que si la fraction est entre parenthèses. Sans parenthèses, la puissance ne s'applique qu'au nombre qui la précède immédiatement. Par exemple, 2/3² = 2/9 et non 4/9.
2. Priorités dans un calcul combiné
Quand une expression contient des fractions, des puissances et d'autres opérations, il faut respecter l'ordre de priorité : 1. Les calculs entre parenthèses. 2. Les puissances. 3. Les multiplications et divisions (de la gauche vers la droite). 4. Les additions et soustractions.
Calculer A = (1/2)³ * 4
etapes: On calcule d'abord la puissance : (1/2)³ = 1³/2³ = 1/8,Puis la multiplication : A = (1/8) * 4 = 4/8,On simplifie : A = 1/2
Pense toujours à simplifier les fractions à chaque étape quand c'est possible, cela rend les calculs plus faciles.
3. S'entraîner avec des exercices types
Voici un exercice complet pour appliquer toutes les règles. Essaye de le faire avant de regarder la correction !
Calculer et simplifier B = [ (3/5)² + 1/10 ] / 2⁻¹
etapes: Étape 1 : Calculer la puissance. (3/5)² = 9/25.,Étape 2 : Calculer la somme dans le numérateur [ ]. 9/25 + 1/10 = (9*2)/(25*2) + (1*5)/(10*5) = 18/50 + 5/50 = 23/50.,Étape 3 : Interpréter la division. Diviser par 2⁻¹, c'est multiplier par son inverse. 2⁻¹ = 1/2, donc son inverse est 2/1 = 2.,Étape 4 : Calcul final. B = (23/50) * 2 = 46/50.,Étape 5 : Simplifier. 46/50 = (2*23)/(2*25) = 23/25.
À retenir
- •(a/b)^n = a^n / b^n. Attention aux parenthèses !
- •Dans un calcul, on respecte l'ordre : Parenthèses, Puissances, Multiplications/Divisions, Additions/Soustractions (PPMDAS).
- •Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse. C'est très utile avec les puissances négatives : 1/(a^n) = a⁻ⁿ.
- •Simplifie les fractions à chaque étape pour faciliter les calculs.
Questions fréquentes
Comment calculer (1/4)⁻² ?
On applique la règle : (1/4)⁻² = 1⁻² / 4⁻². Mais il est plus simple de se rappeler que l'exposant -2 inverse la fraction ET l'élève au carré. Donc (1/4)⁻² = (4/1)² = 4² = 16.
Dans le calcul 2/3², la puissance s'applique à quoi ?
Sans parenthèses, la puissance ² ne s'applique qu'au chiffre 3. Donc 2/3² = 2 / (3²) = 2/9. Pour élever toute la fraction au carré, il faut écrire (2/3)².
Que faire si j'ai une multiplication et une puissance dans une fraction ?
Tu dois d'abord calculer les puissances présentes au numérateur et au dénominateur, puis effectuer les multiplications/divisions, et enfin simplifier la fraction obtenue. Suis toujours l'ordre PPMDAS à l'intérieur de chaque partie de la fraction.
