Les inéquations du premier degré (introduction)
Découvre ce qu'est une inéquation, comment la reconnaître et les premières méthodes pour la résoudre, en utilisant des opérations similaires aux équations.
💡 Et si au lieu de chercher une égalité parfaite, on cherchait toutes les valeurs qui rendent une expression plus grande ou plus petite qu'une autre ? C'est le monde des inéquations !
Jusqu'à présent, tu as appris à résoudre des équations, où le but était de trouver la valeur de l'inconnue qui rendait les deux côtés du signe « = » égaux. Maintenant, nous allons découvrir les **inéquations**. Ici, il ne s'agit plus d'égalité mais d'**inégalité**. On utilise des symboles comme < (inférieur à), > (supérieur à), ≤ (inférieur ou égal) et ≥ (supérieur ou égal). Le but est de trouver toutes les valeurs possibles de l'inconnue qui vérifient cette inégalité.
Objectifs de cette leçon
- Comprendre la définition d'une inéquation et la différence avec une équation
- Savoir vérifier si un nombre est solution d'une inéquation
- Appliquer les règles de résolution basiques (addition/soustraction) pour isoler l'inconnue
1. Qu'est-ce qu'une inéquation ?
Une inéquation est une inégalité mathématique qui contient une **inconnue**, souvent notée **x**. Contrairement à l'équation (avec =), elle utilise un des quatre symboles d'inégalité : < , > , ≤ , ≥.
3x + 5 < 17
explication: C'est une inéquation du premier degré. L'inconnue est x. Le symbole est < (inférieur à). On cherche tous les nombres x tels que « 3 fois x plus 5 » soit strictement inférieur à 17.
Ne confonds pas le symbole ≤ (inférieur ou égal) avec <. Pour ≤, la valeur frontière est incluse dans les solutions. Pour <, elle est exclue.
2. Vérifier si un nombre est solution
Pour savoir si un nombre est solution d'une inéquation, on remplace l'inconnue par ce nombre dans l'inégalité et on vérifie si l'inégalité obtenue est VRAIE.
Pour l'inéquation 2x - 1 ≥ 3, le nombre 2 est-il solution ?
etapes: On remplace x par 2 : 2*2 - 1 ≥ 3,On calcule : 4 - 1 ≥ 3 donc 3 ≥ 3,L'inégalité est VRAIE car 3 est égal à 3 (le symbole ≥ l'autorise).
conclusion: Oui, 2 est une solution de l'inéquation 2x - 1 ≥ 3.
Si l'inégalité est fausse après le calcul, alors le nombre testé n'est pas une solution.
3. Résoudre une inéquation simple : principe de base
Résoudre une inéquation, c'est trouver **toutes** ses solutions. On utilise des opérations pour isoler x d'un côté du symbole, comme pour les équations, mais avec une règle cruciale à retenir.
RÈGLE FONDAMENTALE : On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans changer le sens du symbole (< reste <, > reste >, etc.).
Résoudre x + 7 > 10
etapes: On a x + 7 > 10. Pour isoler x, on soustrait 7 des deux côtés.,Cela donne : x + 7 - 7 > 10 - 7,On simplifie : x > 3
conclusion: Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 3. On peut le noter sous forme d'intervalle plus tard.
Pour l'instant, concentrons-nous sur la manipulation de l'inégalité par addition et soustraction. La multiplication/division par un nombre négatif, qui change le sens du symbole, sera vue dans la leçon suivante.
À retenir
- •Une inéquation est une inégalité (avec <, >, ≤, ≥) qui contient une inconnue.
- •Un nombre est solution si, en remplaçant l'inconnue par ce nombre, l'inégalité est vraie.
- •Pour résoudre, on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?
Une équation cherche une (ou quelques) valeur(s) précise(s) qui réalisent une ÉGALITÉ (symbole =). Une inéquation cherche souvent une infinité de valeurs qui réalisent une INÉGALITÉ (symboles <, >, ≤, ≥).
Est-ce que le résultat d'une inéquation est toujours un seul nombre ?
Non, presque jamais ! Le résultat est généralement un ensemble de nombres (par exemple 'tous les nombres plus grands que 5'). C'est pour cela qu'on parle souvent de 'solutions' au pluriel.
Pourquoi dit-on 'du premier degré' ?
Cela signifie que l'inconnue (souvent x) n'est pas au carré (x²), ni au cube, etc. Elle est à la puissance 1, comme dans 3x, 5x, ou simplement x. C'est la forme la plus simple.
