Les solides de l'espace : volumes (pyramide, cône, sphère)
Apprends à calculer le volume des pyramides, des cônes de révolution et des sphères avec des formules simples et des exemples concrets.
💡 Savais-tu que le volume d'un cône de glace est exactement trois fois plus petit que celui du pot cylindrique dans lequel on le prépare ? Découvrons pourquoi !
Dans la vie de tous les jours, nous sommes entourés d'objets en trois dimensions : une boîte de cadeau, un cornet de glace, un ballon de foot. Ces objets sont des solides. Dans ce chapitre, nous allons apprendre à calculer l'espace qu'ils occupent, c'est-à-dire leur volume, pour trois solides particuliers : la pyramide, le cône et la sphère.
Objectifs de cette leçon
- Connaître et utiliser les formules du volume d'une pyramide, d'un cône et d'une sphère.
- Savoir appliquer ces formules à des exercices concrets.
- Comprendre le lien entre le volume d'une pyramide/cône et celui d'un prisme/cylindre de même base et même hauteur.
1. Le volume de la pyramide et du cône
Une pyramide (à base carrée, rectangulaire, triangulaire...) et un cône de révolution (un cône 'droit' avec une base circulaire) ont un point commun : ils se rétrécissent vers un sommet. Leur volume se calcule de la même manière.
Une pyramide à base carrée de 5 cm de côté a une hauteur de 9 cm. Quel est son volume ?
etape1: Aire de la base (carré) = côté × côté = 5 × 5 = 25 cm².
etape2: Volume = (Aire de la base × Hauteur) / 3 = (25 × 9) / 3.
etape3: Calcul : (225) / 3 = 75.
conclusion: Le volume de cette pyramide est de 75 cm³.
La hauteur est la distance perpendiculaire entre le sommet et le plan de la base. Ce n'est pas la longueur d'une face latérale ! Pour un cône, la hauteur est l'axe central, pas la génératrice (le bord incliné).
Pour un cône de révolution, si on appelle R le rayon de la base circulaire et h la hauteur, la formule devient : Volume = (π × R² × h) / 3, car l'aire du disque de base est π × R².
2. Le volume de la sphère
Une sphère (comme une boule pleine) est un solide où tous les points de la surface sont à égale distance du centre. Cette distance s'appelle le rayon R.
Une sphère a un rayon de 3 cm. Calcule une valeur approchée de son volume.
etape1: Volume = (4 × π × 3³) / 3 = (4 × π × 27) / 3.
etape2: On simplifie : (4 × π × 27) / 3 = 4 × π × 9 = 36 × π.
etape3: Valeur approchée avec π ≈ 3,14 : 36 × 3,14 ≈ 113,04.
conclusion: Le volume de cette sphère est d'environ 113 cm³.
Ne confonds pas le volume de la sphère (l'intérieur plein) avec son aire (la surface extérieure). La formule d'aire est 4 × π × R². Ici, pour le volume, le rayon est au CUBE (R³).
3. Un peu de méthode
Pour résoudre un problème de volume, suis ces étapes :
À retenir
- •Volume d'une pyramide ou d'un cône = (Aire de la base × Hauteur) / 3.
- •Pour un cône de rayon R et de hauteur h : V = (π × R² × h) / 3.
- •Volume d'une sphère de rayon R : V = (4 × π × R³) / 3.
- •La hauteur d'une pyramide ou d'un cône est perpendiculaire à la base.
- •N'oublie pas de diviser par 3 pour la pyramide et le cône, et de mettre le rayon au cube pour la sphère !
Questions fréquentes
Pourquoi divise-t-on par 3 pour le volume de la pyramide et du cône ?
On peut le démontrer par l'expérience : si on remplit un cône avec du sable et qu'on verse ce sable dans un cylindre de même base et même hauteur, il faudra vider le cône 3 fois pour remplir le cylindre. Le volume du cône est donc bien le tiers de celui du cylindre.
Comment calculer le volume d'une pyramide à base triangulaire ?
Le principe est le même ! Il faut d'abord calculer l'aire du triangle qui forme la base (Aire = (base × hauteur du triangle)/2). Ensuite, tu appliques la formule générale : V = (Aire de cette base triangulaire × hauteur de la pyramide) / 3.
Que faire si on me donne le diamètre de la sphère et pas le rayon ?
Le rayon R est la moitié du diamètre D. Donc, si on te donne un diamètre de 10 cm, le rayon est R = 10 / 2 = 5 cm. Tu utilises ensuite cette valeur de 5 cm dans la formule V = (4 × π × 5³) / 3.
