🎯 Objectifs de la lecon
- •Définir le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle.
- •Utiliser la formule du cosinus pour calculer une longueur ou un angle.
- •Savoir utiliser la calculatrice pour trouver un cosinus ou un angle.
En géométrie, lorsqu'on travaille avec des triangles rectangles, il existe des outils très puissants pour faire des calculs de longueurs ou d'angles. Le cosinus est l'un de ces outils. Il permet de créer un lien entre les angles aigus et les longueurs des côtés du triangle.
1. Définition dans un triangle rectangle
On considère un triangle ABC, rectangle en A. On s'intéresse à l'un des angles aigus, par exemple l'angle ABC (noté ÂBĈ).
Dans ce triangle :
- Le côté [BC], en face de l'angle droit, est l'hypoténuse. C'est le côté le plus long.
- Le côté [AB] est le côté adjacent à l'angle ÂBĈ. Il est 'à côté' de l'angle et fait partie de l'hypoténuse.
Le cosinus de l'angle ÂBĈ est égal au rapport (division) de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse.
« Dans le triangle ABC rectangle en A, cos(ÂBĈ) = AB / BC. »
⚠️ Attention
Cette définition ne fonctionne QUE pour un angle aigu dans un triangle rectangle. Le cosinus est toujours un nombre compris entre 0 et 1 pour un angle aigu.
2. La formule et comment l'utiliser
La formule générale est : cos(angle) = (côté adjacent à l'angle) / (hypoténuse).
Cette formule est souvent écrite sous la forme : côté adjacent = hypoténuse × cos(angle).
Elle permet de calculer :
1. La longueur d'un côté adjacent si on connaît l'hypoténuse et l'angle.
2. La longueur de l'hypoténuse si on connaît le côté adjacent et l'angle.
3. La mesure d'un angle si on connaît les longueurs du côté adjacent et de l'hypoténuse.
« Dans un triangle MNP rectangle en M, on connaît l'angle MNP = 30° et l'hypoténuse NP = 10 cm. On cherche MN, le côté adjacent à l'angle de 30°. Formule : MN = NP × cos(30°) = 10 × cos(30°). Avec la calculatrice, cos(30°) ≈ 0,866. Donc MN ≈ 10 × 0,866 = 8,66 cm. »
3. Utiliser la calculatrice
La calculatrice est indispensable pour travailler avec le cosinus.
⚠️ Attention
Avant tout, vérifie que ta calculatrice est bien en mode DEG (degrés) et non en RAD (radians).
Deux opérations principales :
- Trouver le cosinus d'un angle : Tu tapes la mesure de l'angle, puis la touche COS. Exemple : pour cos(60°), tu tapes 60 puis COS. Le résultat doit être 0,5.
- Trouver l'angle quand on connaît son cosinus : C'est l'opération inverse. Tu utilises la touche COS⁻¹ ou Arccos. Exemple : si cos(angle) = 0,5, tu tapes 0.5 puis COS⁻¹. Le résultat doit être 60°.
« On sait que dans un triangle, cos(x) = 0,342. Pour trouver l'angle x, on calcule cos⁻¹(0,342) avec la calculatrice. On trouve x ≈ 70°. »
