🎯 Objectifs de la lecon
- •Connaître et comprendre l'énoncé du théorème de Pythagore.
- •Comprendre la démonstration par les aires.
- •Savoir identifier l'hypoténuse dans un triangle rectangle.
Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Il permet de calculer la longueur d'un côté lorsque l'on connaît les deux autres. Il porte le nom du mathématicien grec Pythagore, même si cette propriété était connue bien avant lui par d'autres civilisations.
1. Le triangle rectangle et l'hypoténuse
Pour utiliser le théorème de Pythagore, il faut d'abord bien connaître le triangle rectangle. C'est un triangle qui possède un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit est le côté le plus long. On l'appelle l'hypoténuse.
« Dans un triangle ABC rectangle en A, l'angle droit est en A. Le côté [BC], qui est en face de l'angle A, est donc l'hypoténuse. »
⚠️ Attention
L'hypoténuse est TOUJOURS le côté le plus long d'un triangle rectangle, et elle est TOUJOURS opposée à l'angle droit.
2. L'énoncé du théorème de Pythagore
Le théorème établit une relation entre les aires des carrés construits sur les côtés du triangle rectangle.
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
« Si un triangle est rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm, alors BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Donc BC = √25 = 5 cm. »
3. La démonstration par les aires
Une démonstration classique et visuelle utilise des découpages. Imagine que tu construises un carré sur chaque côté du triangle rectangle. L'aire du grand carré (sur l'hypoténuse) peut être recomposée exactement avec les aires des deux petits carrés (sur les côtés de l'angle droit).
Cela prouve que : Aire(carré hypoténuse) = Aire(carré côté 1) + Aire(carré côté 2). Comme l'aire d'un carré est égale à côté × côté, on retrouve bien l'égalité des longueurs au carré.
⚠️ Attention
Cette égalité n'est vraie QUE si le triangle est rectangle. Si le triangle n'est pas rectangle, l'aire du grand carré n'est pas égale à la somme des aires des deux autres.
