🎯 Objectifs de la lecon
- •Définir et construire les médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices d'un triangle.
- •Connaître le nom et les propriétés des points de concours de ces droites (centre de gravité, orthocentre, centre du cercle circonscrit, centre du cercle inscrit).
Un triangle n'est pas qu'une simple figure à trois côtés. Il cache en son sein des lignes spéciales, appelées droites remarquables, qui ont des propriétés fascinantes et des points de rencontre magiques. Dans cette leçon, nous allons explorer les quatre principales : les médianes, les hauteurs, les médiatrices et les bissectrices.
1. Les médianes et le centre de gravité
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Un triangle a donc trois médianes.
« Dans le triangle ABC, si M est le milieu de [BC], alors la droite (AM) est la médiane issue de A. »
⚠️ Attention
Le mot 'médiane' vient de 'milieu'. Elle relie toujours un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d'un triangle se coupent en un point unique appelé le centre de gravité du triangle, souvent noté G. C'est le point d'équilibre du triangle !
2. Les hauteurs et l'orthocentre
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). Un triangle a trois hauteurs.
« Dans le triangle ABC, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC). »
⚠️ Attention
Dans un triangle rectangle, deux hauteurs sont confondues avec les côtés de l'angle droit. Dans un triangle obtusangle, deux hauteurs tombent à l'extérieur du triangle.
Les trois hauteurs (ou leurs prolongements) se coupent en un point unique appelé l'orthocentre du triangle, souvent noté H.
3. Les médiatrices et le centre du cercle circonscrit
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Dans un triangle, on peut tracer la médiatrice de chacun de ses trois côtés.
« La médiatrice du côté [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par son milieu. »
Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un point unique. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle, c'est-à-dire du cercle qui passe par les trois sommets du triangle. On le note souvent O.
4. Les bissectrices et le centre du cercle inscrit
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui part du sommet de l'angle et qui le partage en deux angles de même mesure. Dans un triangle, on peut tracer la bissectrice de chacun de ses trois angles.
« La bissectrice de l'angle BAC est la demi-droite [Ax) telle que les angles BAx et xAC sont égaux. »
⚠️ Attention
Ne confonds pas bissectrice et médiatrice ! La bissectrice coupe un angle en deux, la médiatrice coupe un segment en deux et est perpendiculaire à lui.
Les trois bissectrices des angles d'un triangle se coupent en un point unique. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle, c'est-à-dire du cercle tangent aux trois côtés du triangle. On le note souvent I.
