🎯 Objectifs de la lecon
- •Savoir écrire et lire une puissance
- •Calculer la valeur d'une puissance
- •Appliquer les règles de calcul avec les puissances de même nombre
Lorsqu'on doit multiplier plusieurs fois le même nombre par lui-même, par exemple 2×2×2×2, l'écriture devient longue. Les puissances sont une notation mathématique qui permet d'écrire ce genre de calcul de manière beaucoup plus courte et pratique. C'est un outil fondamental utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences.
1. Qu'est-ce qu'une puissance ?
Une puissance est une façon d'écrire un produit de facteurs tous identiques. Elle est composée de deux nombres : la base et l'exposant.
Notation : aⁿ se lit « a puissance n ». - a est la base : le nombre que l'on multiplie. - n est l'exposant : il indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. - aⁿ = a × a × a × ... × a (n fois)
« 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 »
⚠️ Attention
Ne pas confondre 5³ (5 puissance 3) avec 5×3 (5 multiplié par 3). 5³ = 125, alors que 5×3 = 15.
2. Calculer et lire une puissance
Il faut savoir calculer la valeur d'une puissance et connaître les noms particuliers pour les petits exposants.
Cas particuliers : - a² se lit « a au carré ». - a³ se lit « a au cube ». - a¹ = a (un exposant 1 ne change rien). - a⁰ = 1 (pour toute base a non nulle).
« 4² = 4 × 4 = 16. On dit « 4 au carré égale 16 ». 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000. On dit « 10 au cube égale 1000 ». 9¹ = 9. 7⁰ = 1. »
3. Les règles de calcul avec les puissances
Lorsqu'on multiplie ou divise des puissances du même nombre, il existe des règles pour simplifier les calculs sans tout développer.
Règle 1 : Produit de puissances de même base Pour multiplier des puissances de même base, on garde la base et on additionne les exposants. Formule : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
« 2⁴ × 2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷. Vérification : (2×2×2×2) × (2×2×2) = 2×2×2×2×2×2×2 = 2⁷. »
Règle 2 : Quotient de puissances de même base Pour diviser des puissances de même base, on garde la base et on soustrait les exposants. Formule : aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (avec a ≠ 0 et m ≥ n)
« 5⁶ ÷ 5² = 5⁶⁻² = 5⁴. Vérification : (5×5×5×5×5×5) / (5×5) = 5×5×5×5 = 5⁴. »
⚠️ Attention
Ces règles ne fonctionnent que si les puissances ont la même base. 2³ × 3² ne peut pas se simplifier avec ces règles car les bases (2 et 3) sont différentes.
