🎯 Objectifs de la lecon
- •Comprendre et utiliser les puissances de 10 (exposant positif et négatif).
- •Savoir écrire un nombre décimal en écriture scientifique.
- •Savoir comparer et ordonner des nombres en écriture scientifique.
Pour exprimer de très grandes quantités (comme la distance des étoiles) ou de très petites quantités (comme la taille d'un virus), les scientifiques utilisent une notation particulière : les puissances de 10 et l'écriture scientifique. C'est un outil puissant pour simplifier l'écriture et les calculs.
1. Les puissances de 10
Une puissance de 10, c'est le résultat d'une multiplication répétée du nombre 10 par lui-même. On note 10ⁿ, où 'n' (l'exposant) indique le nombre de fois que l'on multiplie 10.
« 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000. L'exposant 3 nous dit qu'il y a trois zéros après le 1. »
Pour les nombres plus petits que 1, on utilise des exposants négatifs. 10⁻ⁿ, c'est l'inverse de 10ⁿ, soit 1 / 10ⁿ.
« 10⁻³ = 1 / 10³ = 1 / 1000 = 0,001. L'exposant -3 nous dit que le chiffre 1 est à la 3ème position après la virgule. »
⚠️ Attention
10⁰ = 1. C'est une convention importante à retenir !
2. L'écriture scientifique d'un nombre
L'écriture scientifique permet d'écrire n'importe quel nombre (très grand ou très petit) sous une forme standardisée. Un nombre est en écriture scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme a × 10ⁿ, où :
- 'a' est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (1 ≤ a < 10). C'est la partie 'significative'.
- 'n' est un nombre entier relatif (positif, négatif ou nul). C'est la puissance de 10, appelée l'ordre de grandeur.
« La distance Terre-Soleil : 150 000 000 km. Pour l'écrire en notation scientifique, on place la virgule après le premier chiffre non nul : 1,5. On a déplacé la virgule de 8 rangs vers la gauche, donc on multiplie par 10⁸. Résultat : 1,5 × 10⁸ km. »
« La taille d'un virus : 0,000 000 025 m. On place la virgule après le 2 : 2,5. On l'a déplacée de 8 rangs vers la droite, donc on multiplie par 10⁻⁸. Résultat : 2,5 × 10⁻⁸ m. »
⚠️ Attention
Le nombre 'a' DOIT être compris entre 1 et 10. 15 × 10⁷ n'est PAS une écriture scientifique correcte, car 15 est supérieur à 10. La bonne écriture est 1,5 × 10⁸.
3. Comparer des nombres en écriture scientifique
L'écriture scientifique est très pratique pour comparer rapidement la taille des nombres. On compare d'abord les puissances de 10 (l'exposant 'n'). Le nombre avec la plus grande puissance de 10 est le plus grand. Si les puissances de 10 sont égales, on compare alors le nombre 'a'.
« Comparons 4,2 × 10⁵ et 9,8 × 10⁴. 10⁵ est plus grand que 10⁴, donc 4,2 × 10⁵ > 9,8 × 10⁴, même si 4,2 est plus petit que 9,8. »
« Comparons 5,1 × 10³ et 2,7 × 10³. Les puissances de 10 sont égales (10³). On compare donc 5,1 et 2,7. Donc 5,1 × 10³ > 2,7 × 10³. »
